正方体表面展开图规律的研究

减小字体 增大字体 作者:佚名  来源:www.zhonghualunwen.com  发布时间:2009-08-11 00:27:53

 

 

内容提要::立体图形的表面展开图是新课标的一个亮点,是立体几何向平面几何的转化过程,对于圆柱、圆锥、棱柱、棱锥而言,其展开图比较单一。而正方体的表面展开图形式多样,是同学们学习的难点。认真讨论、研究其展开规律、特征,有利于发展学生的空间观念,丰富其想象力,引发学生的发散思维和创新意识,提高解决问题的能力。本文对正方体表面展开图的形式、规律、特征作初步探讨,并通过具体例题说明之。

关键词:规律  掌握  应用

    正方体的表面展开图问题是初中数学教学中的难点,中考题也多次出现,这种题有利于培养学生的空间观念,也有利于培养学生的实践、探索、交流能力.同一个正方体图形按不同的方式展开得到的平面展开图一般是不一样的,常见的正方体展开图究竟有几种不同的形状?有哪些基本特征呢?

   将正方体纸盒的六个面分别记为:上、下、左、右、前、后,并剪去上、下两底面后沿侧棱展开为平面图形(1)

               

   现在只要将刚才剪去的上、下两面分别拼接到图1中可得:

        

              2          3           4

         

              5          6           7

    观察以上6个展开图我们发现:

   【特征一】:展开图中成“直角”形状的三个面在正方体中有公共顶点,并有两边为公共边,且可绕三个面的公共顶点沿直角方向进行90度旋转.且不改变各面在原正方体中的相对位置.(见后面旋转法) 

   将图3(或图6)旋转可得图8;    将图4(或图7)旋转可得图9

   将图5(或图4)旋转可得图10 ; 将图9(或图5)旋转可得图11

   将图11旋转可得图12.

     

       8            9           10

                                            

               11                 12

     进一步观察可得:正方体表面展开图共有11种形式(即图2—图12),观察这11种展开图我们发现,有10种图形均有四列,按行的不同可把它们分为以下3:

 (1)一四一型:图2----7       

 (2)二三一(一三二)型:图8----9、;

 (3)二二二型:图11.

  剩下1种有五列,我们称之为:三三型(两行五列):12.

    11种形式之间都是可以相互转化的,而在变形的过程中,6个面之间的相邻关系及相对关系保持不变.为便于记忆我们把它编成口诀如下:

      中间四个面,上下各一面;  中间三个面,一二隔河见;

      中间两个面,楼梯天天见;  中间没有面,三三成一线。

   【特征二】: 一个正方体不论如何展开,某一面与它的对面的位置关系无非是如下两种:第一种是两个对面在同一行(或同一列)中间隔着一个正方形.第二种是两个对面不同行也不同列,但中间隔着一列(或一行)。图2---7很容易确定相对面, 而后五种的相对面判断方法有两种:

    ()“目”字法

通过想象和动手操作可以发现,形如图13这样的情况,肯定是面1和面3相对。这样,图8、图9、图10、图12中形如(图13)的相对面也就找到了。

                   

    在下列各图中,都应该是面1和面3相对。

 

  ( 二)旋转法:(14)(16)中的其他面,以及(11)中的相对面的情况,通过“目”字法解决不了,此时,可采用旋转法。通过动手操作可以发现,形如图18这样的情况,mn这两条边,本来是正方体的同一条棱,围成正方体之后,它们仍将再重合,因此,将图18通过旋转面A变化成图19的样子,并不改变相对面的情况.因此,图14可以通过旋转面5的的方法变成图20,这样既不改变相对面的情况,又比较容易,看出谁和谁相对。由图21通过旋转面4变成图22,则更能体现这种方法的优越性。

         

   【特征三】: 形如“田”、“凹”、“L”“U”的肯定不是.如以最长的正方形链横排为准,展开图一般是三行,个别是两行,不能是一行或四行,最长的一行(或列)在中间,可为234个,超过4个或长行不在中间的不是正方体表面展开图.如:

       

    都不是.

    2.在每一行(或列)的两旁,每旁只能有1个正方形与其相连,超过1个就不是.如:

             

都不是.

 

   【例1: 下面各图都是正方体的表面展开图,若将它们折成正方体,则其中两个正方体各面图案完全一样,它们是(  ).

         

   【分析】首先找出上下两底,(1)是+*,(2)是+*,(3)(4)都是□和×,排除(1)(2),再检查侧面,(3)(4)顺序相同,所以选(3)(4).

   【练习题】:

1. 如图是一个正方体的侧面展开图,如果将它折叠成一个正方体后相对的面

上的数相等.则图中x的值为______________

                  

答案:x=3.5

    2.ABC内分别填上适当的数.使得它们折成正方体后,对面上的数互为倒数,则填入正方形ABC的三数依次是:

A 1B 1C1  D 1

                      

   【分析】 : A2B3中间都隔一个正方形,C1分处正方形链两边且与其相连,选(A).

   3.ABC内分别填上适当的数,使它们折成正方体后,对面上的数互为相反数.

                       

   【分析】:A0B2C-1都分处正方形链两侧且与其相连,∴A0B-2C1

   4. 2008年龙岩市)如图是一个正方体的表面展开图,则图中“加”字所在面的对面所标的字是(     

                       

    A.北  B.京     C.奥  D.运 

答案:B

    5.2007福建宁德)如图是一个小正方体的侧面展开图,小正方体从如图52所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格,这时小正方体朝上面的字是(   

     A.和        B.谐      C.社      D.会

答案:B

   

6.2008年遵义市)如图(1)是一个小正方体的侧面展开图,小正方体从图(2)所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格,这时小正方体朝上一面的字是(   

    A.奥      B.运    C.圣    D.火

               

答案:B

   【例2】:正方体有三种不同放置方式,问下底面各是几?

         

    【分析】 先找相邻的面,余下就是相对的面.上图出现最多的是3,和3相连的有2456,余下的1就和3相对.再看66相邻的有234,和3相对的是1,必和6相邻,故65相对,余下是42相对,下底面依次是251

   【练习题】:

   1. 由下图找出三组相对的面.

           

   【分析】  2相连的是1356,相对的是4,和3相连的是2456,相对的是1,和6相连的是1234,相对的是5

2. 如图,两个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色,那么涂黄色、白色、红色的对面分别是(   

               

A. 蓝、绿、黑  B. 绿、蓝、黑  C. 绿、黑、蓝   D. 蓝、黑、绿

   【分析】:认真观察和分析图形可知,和白色相邻的有黄色、黑色、红色、绿色,由此可得白色对面是蓝色。所以正确答案是:B

   【例3: 如下图,正方体三个侧面分别画有不同图案,它的展开图可以是(  ).

         

   【分析】  基本方法是先看上下,后定左右,图AB都是□和+两个面相对,不合题意,图C“□”和“○”之上,从立体图看“+”在右,符合要求.图D“□”和“+”之上,“○”在右,而立体图“○”应在左,不合要求,故选(C).

   【练习题】

   1.2007四川巴中)李明为好友制作一个正方体礼品盒,六面上各有一字,连起来就是“预祝中考成功”,其中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,则它的平面展开图可能是(  )

 

A.

B.

C.

D.

 

 


 

  

答案:C

 

2.符合展开图的正方体是( 

        

答案:A

   3(2008年芜湖市)将一正方体纸盒沿下右图所示的线剪开,展开成平面图,其展开图的形状为(     ).

    

答案:B

   【例4】:(2005•济南)如图,在正方体表面上画有如图(1)中所示的粗线,图(2)是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图(1)中剩余两个面中的粗线画入图(2)中,画法正确的是(    .

             

    【分析1】:我们把图(2)标以字母进行分析,如图(3),因为面A、面B、面C成“直角型”,所以在原正方体中此3面有公共点,把此3面折叠后面A的左上角与面C的左上角相交,同理可知面C的左上角与面E的左上角相交,则面A、面C、面E的左上角在原正方体中相交.故选A.

    【分析2】:将图(3)中面A和面E适当旋转可使面A、面C、面E左上角的顶点重合,从而很容易选出结果为:A.

【分析3】:把展开图字母全部标上(如下图),而标注字母的方法只要找出公共边所在的面,如先定好主面ABCD,然后以CD为公共边的面为还有 “CDHG”,所以CD的右边为HG,以DG为公共边的面为“DGCH  和“DGAF”,所以DG的上边为AF。再如以FG为公共边的面为“FGAD”和  FGEH”,所以FG右面为EH。以此类推,就可全部标出展开图中的字母,而原立方体中的三条线段也就在面ABCDADFGABEF上能轻而易举的画出了。

                             

用此法也可很快展开图折成原来正方体时相互重合的线段。

   【练习题】:

   1.2006•贵阳)如图是正方体的一个平面展开图,如果折叠成原来的正方体与边a重合的是(     .

                        

        . d   B. e   C. f  D.i

  【分析】 如上右图所示,正方体的六个面中,根据正方体对面的特征,显然面1、面3为对面,面5、面6为对面,面4、面2为对面,这样可把展开图恢复为正方体,显然边ad将重合.或旋转法。

  2.如图是正方体的一个平面展开图,如果折叠成原来的正方体与顶点A重合的是_____.         

    答案:用旋转法可得:FL                            

   【例5】: 如图,左边的图形可能是右边哪些图形的展开图?想一 想怎 么更快地识别它?

 

 

 

              (a) (b) (c)

    【分析】 : 我们把侧面展开图予以“标记”,标出正方体的六个侧面“上、下、左、右、前、后”,然后对照右面的立体图形进行识别.如图标记好后,与(a)对照,发现上、前正确,但是右面不对,它不是(a)的展开图;与(b)对照,发现上、前、右完全一致,所以它是(b)的展开图;与(c)对照时发现是正面,是上面,因此要重新标记如下图,此时在左面,从立体图上看不到,右面是□,对应了起来,因此它是(c)的展开图.

    答:是(b)、(c)的展开图.

   【练习题】:

1.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如图),请根据各面上的图案判断这个正方体是右图中的(   

  

答案:C

    2.左图中a、b、c、d哪一个是中间展开图折后的正方体?右图中a、b哪一个是中间展开图折后的正方体?

          

答案:左图d,   右图a

3.把右图折起来,它会变成正方体                

         

A         B        C       D

答案:B

   4.下面的正方体展开后,可能是四个平面图中的哪一个  (    )

   

A

B

C

D

答案:B

    5.六个正方体A,B,C,D,E,F的可见部分如图,图1是其中一个正方体的侧面展开图,那么它是正方体________的侧面展开图。

            

     

   【分析】:“正方形侧面展开图”一节也是新教材中新增的知识,对于较复杂图形的辨认,学生感到比较困难。这一问题可用以下方法加以解答:

   1) 将展开图(图1)围成正方体时,右下角的正方形A的上边应与正方形B的右边重合,所以可将A逆时针旋转90o,得到图2

   2) 将展开图(图1)围成正方体时,正方形A的右边应与正方形C的左边重合,所以可将A向左平移,得到图3

 由图3观察六个正方体此题就简单多了,正确答案应为CE

 

参考文献:现代教育报思维训练  作者:陈海生

          正方体表面展开图的研究  作者:徐彤

          正方体展开图  作者:张震

正方体表面展开图  作者:张忠林

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