一个新的超混沌系统及其线性反馈同步

减小字体 增大字体 作者:李春彪 刘保彬 郑晓晨  来源:www.zhonghualunwen.com  发布时间:2009-10-12 23:31:56

  0 引言
  
  混沌系统在非线性电路、通信和信息科学中的巨大工程应用价值已经被人们所认识。超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数,相轨在更多方向上分离,从而呈现更为复杂的动力学特性;复杂的超混沌信号可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性。这些使得超混沌系统的产生、控制与同步技术越来越受到研究者的关注而成为混沌研究的热点。对超混沌的研究将是混沌通信、信息加密等信息工程领域中混沌应用的一个重要课题[1~8]。
  20世纪90年代以来,混沌同步成为非线性科学领域中的一个热门研究课题。通常,同步是指两个初始值不同的混沌系统的轨道距离‖x-y‖在时间趋于无穷时趋于零的状况。现在,人们研究混沌同步的范围已经涉及到电子线路、保密通信等各个领域。与此同时,人们也在不断探索超混沌系统之间的同步方法。自从计算机被应用于实现同步控制以来[9],各种有效的方式被用来实现混沌与超混沌系统的同步控制[9~15],如线性反馈控制[10]、非线性反馈控制[11]、自适应控制[12]、Backstepping控制方法[13]等。
  对于广义Lorenz系统族,利用混沌反控制的方法,可在原三阶混沌系统基础上构建出相应的四阶超混沌系统,如Li等人[1]提出的超Chen系统、Chen等人[3]提出的超Lü系统、王兴元等人提出的超Lorenz系统。最近,Wang等人[2]基于Liu提出的类Lorenz系统(后简称Liu系统)构造了一个超Liu系统,并对此予以电路实现。鉴于Liu系统的特殊性质,在Liu系统中引入新的非线性控制器,也同样能实现超混沌;不仅如此,再将其非线性较强的平方项改为非线性较弱的绝对值项,该系统能继续保持超混沌。研究发现,该新系统同样具有非常丰富的动力学特性。Lyapunov指数谱、庞加莱映射与频谱特性等证明系统的状态变量输出呈现混沌状态。基于线性反馈同步控制的特性,利用线性反馈同步控制原理,可以实现超混沌驱动系统与响应系统之间的同步。仿真结果证明了这种方法的有效性。
  
  1 一种含绝对值项的超混沌系统
  
  文献[14]提出的Liu混沌系统的数学表达式为
  x•1=a(x2-x1)x•2=bx1-kx1x3x•3=-cx3+hx12(1)
  在此混沌系统中引入新的反馈项,并改造平方项为绝对值项,得到如下四维系统
  x•1=a(x2-x1)x•2=bx1-kx1x3+x4x•3=-cx3+|x1|x•4=x1x3-gx1(2)
  其中:a、b、c、g、k、h是常量,而x1、 x2、 x3、 x4则是系统的状态变量。当a = 10, b = 40, c = 2.5, k = 16和g = 8时,采用四阶龙格库塔法进行数值仿真,得到超混沌吸引子,如图1所示。通过空间的一个平面去截系统的相轨,得到庞加莱映射如图2(a)所示,分析系统输出混沌信号的频谱,得到频谱图,如图2(b)所示。频谱的连续宽带特性,进一步表明系统输出信号为混沌信号。由混沌理论知道,在状态空间混沌吸引子的相邻轨线之间呈现彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数正是定量描述轨线收缩或扩张的量。利用Jacobi方法计算其Lyapunov指数,得到LE1 = 0.9995, LE2 =0.146, LE3 =-0.0059, LE4 = -13.635。
  
  设某一系统的Lyapunov指数谱为λ1,λ2,…,λn(从大到小排列),若该系统具有混沌吸引子,则必须同时满足以下条件:a)至少存在一个正的Lyapunov指数λi>0;b)至少存在某一λi=0(实际数值计算只是逼近这个数);c)Lyapunov指数谱之和为负。上面计算得到的两个正的Lyapunov指数表明该吸引子是超混沌吸引子,据此也可以得到李雅普诺夫维数为
  dL=j+(1/LE(j+1))∑ji=1LEi=3+(LE1+LE2+LE3)/|LE4|=3+(0.9995+0.146-0.0059)/|-13.635|=3.0836(3)
  进一步证明该新系统的维数为分数维数。
  
  2 线性反馈同步控制的基本原理
  
  设驱动系统为n维自治混沌系统
  X•=F(X)(4)
  响应系统为
  Y•=F(Y)(5)
  引入线性反馈控制器以后,响应系统变为
  X•=F(X)Y•=F(Y)+K(X-Y)(6)
  定义误差矢量为E=X-Y, 式(6)变为如下形式
  X•=F(X)E•=G(X,Y,K)(7)
  其中:F=( f1, f2,…, fn )T, G=( g1,g2,…, gn )T,X=( x1, x2,…, xn )T, Y=( y1, y2,…, yn )T, E=( e1, e2,…, en )T都是n维矢量;K=diag[k1, k2,…, kn]T是线性反馈控制参数矢量,T表示转置。系统的最大Lyapunov指数假设为λmax = max(λ1,λ2,…, λn),线性反馈控制增益定义为k=k1=…=kn。驱动系统与响应系统的同步问题就转变为如何设置合理的反馈控制增益矢量。
  引理[10] 如果线性反馈控制增益大于混沌系统的最大Lyapunov指数, 也就是k > λmax,两个具有不同初始条件的相同混沌系统将能够通过线性反馈控制达到同步。

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